3). В прямоугольном треугольнике АВС ∠C = 90°, ∠A = 30°, АС = 10 см, CD ⊥ AB, DE ⊥ AC. Найдите АЕ.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

1. Найдем гипотенузу AB: $$\cos(30^) = \frac{AC}{AB} \Rightarrow AB = \frac{AC}{\cos(30^)} = \frac{10}{\sqrt{3}/2} = \frac{20}{\sqrt{3}}$$ см.
2. Найдем сторону BC: $$\tan(30^) = \frac{BC}{AC} \Rightarrow BC = AC \cdot \tan(30^) = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$$ см.

В прямоугольном треугольнике ADE:

1. Угол DAE равен углу A треугольника ABC, то есть 30°.
2. DE ⊥ AC, значит, ∠AED = 90°.
3. Треугольник ADE подобен треугольнику ABC (по двум углам: ∠A общий, ∠AED = ∠ACB = 90°).
4. Из подобия треугольников следует: $$\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$$.
5. Из подобия также следует, что CD ⊥ AB и DE ⊥ AC, что треугольник CDE подобен треугольнику ABC.
6. Рассмотрим треугольник ADC. Угол ACD = 90° - ∠CAD = 90° - 30° = 60°.
7. В прямоугольном треугольнике ADC, CD - высота. CD = AC * sin(30°) = 10 * 0.5 = 5 см.
8. Найдем AD: AD = AC * cos(30°) = 10 * \(\sqrt{3}/2\) = 5\(\sqrt{3}\) см.
9. В прямоугольном треугольнике ADE: AE = AD * cos(30°) = 5\(\sqrt{3}\) * \(\sqrt{3}/2\) = 5 * 3 / 2 = 7.5 см.

Ответ: AE = 7.5 см.