3. В окружности с центром О радиусом 3 см проведены диаметр АВ и хорда (см. рис. 169). Найдите ВС, если угол АВС = 60°.

Решение:

1. Свойство вписанного угла: Угол ABC является вписанным углом, который опирается на диаметр AB. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда является прямым, то есть равен 90°. Однако, в условии указано, что угол ABC = 60°. Это означает, что точка C не лежит на окружности, или есть ошибка в условии/рисунке. Предположим, что угол ACB = 90° (так как он опирается на диаметр AB).
2. Рассмотрим треугольник ABC: Мы имеем прямоугольный треугольник ABC (угол ACB = 90°). Сумма углов в треугольнике равна 180°.
3. Нахождение угла BAC: Угол BAC = 180° - 90° - 60° = 30°.
4. Использование тригонометрии: В прямоугольном треугольнике ABC:
   • AB — гипотенуза (диаметр), AB = 2 * радиус = 2 * 3 см = 6 см.
   • BC — катет, противолежащий углу BAC.
   • AC — катет, противолежащий углу ABC.
5. Вычисление BC: Используем синус угла BAC: $$ \frac{BC}{AB} = \sin(BAC) $$.
6. $$ \frac{BC}{6} = \sin(30°) $$.
7. $$ \frac{BC}{6} = \frac{1}{2} $$.
8. $$ BC = 6 * \frac{1}{2} = 3 $$ см.

Ответ: BC = 3 см.