№ 3. В окружности с центром О проведены диаметр DK и хорды КА и КВ так, что \( \angle OAK = \angle OBK \) (рис.67). Докажите, что \( AK=BK \).

Доказательство:

1. В \( \triangle OAK \) стороны \( OA \) и \( OK \) — радиусы окружности, следовательно \( \triangle OAK \) — равнобедренный.
2. В \( \triangle OBK \) стороны \( OB \) и \( OK \) — радиусы окружности, следовательно \( \triangle OBK \) — равнобедренный.
3. По условию \( \angle OAK = \angle OBK \).
4. Так как \( \triangle OAK \) — равнобедренный, то \( \angle OKA = \angle OAK \).
5. Так как \( \triangle OBK \) — равнобедренный, то \( \angle OKB = \angle OBK \).
6. Из равенства \( \angle OAK = \angle OBK \) и \( \angle OKA = \angle OAK \), \( \angle OKB = \angle OBK \) следует, что \( \angle OKA = \angle OKB \).
7. Углы \( \angle OKA \) и \( \angle OKB \) — центральные углы, опирающиеся на дуги \( \stackrel\frown{AK} \) и \( \stackrel\frown{BK} \) соответственно.
8. Если центральные углы равны, то и дуги, на которые они опираются, равны: \( \stackrel\frown{AK} = \stackrel\frown{BK} \).
9. Равные дуги стягиваются равными хордами. Следовательно, \( AK = BK \).

Что и требовалось доказать.