3. В окружности с центром О проведена хорда АВ и диаметр АМ, ∠AMB = 31°. Найдите углы ВАМ и АОВ.

Решение:

1. Найдём угол ВАМ:

Угол \( \angle AMB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AB \). Диаметр \( AM \) делит окружность на две полуокружности. Угол \( \angle ABM \) — вписанный угол, опирающийся на полуокружность, значит, \( \angle ABM = 90° \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABM \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180° \).

\[ \angle BАM + \angle AMB + \angle ABM = 180° \]\[ \angle BАM + 31° + 90° = 180° \]\[ \angle BАM + 121° = 180° \]\[ \angle BАM = 180° - 121° = 59° \]

2. Найдём угол АОВ:

Центральный угол \( \angle AOB \) равен градусной мере дуги \( AB \), на которую он опирается.

Вписанный угол \( \angle AMB \) опирается на ту же дугу \( AB \), что и центральный угол \( \angle AOB \). Величина центрального угла равна удвоенной величине вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

\[ \angle AOB = 2 × \angle AMB \]\[ \angle AOB = 2 × 31° = 62° \]

Ответ: \( \angle ВАМ = 59° \), \( \angle АОВ = 62° \).