3. Упростите выражение: \(\left(\sqrt[4]{x^{16}y^4}\right)^2\)

Решение:

1. Воспользуемся свойством корней \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\): \(\sqrt[4]{x^{16}y^4} = (x^{16}y^4)^{\frac{1}{4}}\).
2. Применим свойство степени \((ab)^m = a^m b^m\) и \((a^m)^n = a^{mn}\): \((x^{16})^{\frac{1}{4}} (y^4)^{\frac{1}{4}} = x^{16 \cdot \frac{1}{4}} y^{4 \cdot \frac{1}{4}} = x^4 y^1 = x^4 y\).
3. Теперь возведём полученное выражение в квадрат: \((x^4 y)^2\).
4. Применим свойство степени \((ab)^m = a^m b^m\) и \((a^m)^n = a^{mn}\): \((x^4)^2 y^2 = x^{4 \cdot 2} y^2 = x^8 y^2\).

Ответ: \(x^8 y^2\)