3) Укажите равные прямоугольные треугольники.

Решение:

Рассмотрим рисунок 3, где есть прямоугольные треугольники:

• \(∆ABС\) — прямоугольный (\(∆A = 90^{\circ}\)).
• \(∆FAB\) — прямоугольный (\(∆F = 90^{\circ}\)).
• \(∆FBD\) — прямоугольный (\(∆F = 90^{\circ}\)).
• \(∆ABD\) — прямоугольный (\(∆A = 90^{\circ}\)).

Из предыдущего задания мы выяснили:

• \(AB = BD\) (медиана к гипотенузе в \(∆FAB\)).
• \(FA = 2 \times AB\).
• \(FB = AB \tan(45^{\circ}) = AB\) (ошибка в предыдущем расчете, \(∆FBD\) не является равнобедренным).

Пересмотр рисунка 3:

В \(∆FAB\), \(∆F = 90^{\circ}\). \(BD\) — медиана к гипотенузе \(FA\). Следовательно, \(BD = \frac{1}{2} FA = AB\). Таким образом, \(∆ABD\) — равнобедренный с \(AB=BD\). Углы при основании равны: \(∆BDA = ∆BAD = 45^{\circ}\) (так как \(∆BAD = 90^{\circ}\)).

Сравнение прямоугольных треугольников:

• \(∆ABС\) имеет углы \(90^{\circ}, 60^{\circ}, 30^{\circ}\).
• \(∆FAB\) имеет углы \(90^{\circ}\). Стороны \(AB\) и \(FB\).
• \(∆ABD\) является прямоугольным (\(∆A = 90^{\circ}\)). Он равнобедренный, углы \(45^{\circ}, 45^{\circ}, 90^{\circ}\).

Вывод:

Прямоугольные треугольники \(∆ABD\) и \(∆ABC\) не равны, так как у них разные углы (45, 45, 90 против 30, 60, 90).

Прямоугольные треугольники \(∆FAB\) и \(∆FBD\) не равны, потому что \(∆FBD\) не является прямоугольным (\(∆F = 90^{\circ}\), но \(∆FBD\) — это часть \(∆ABC\) или \(∆ABD\)).

Анализ равенства по сторонам и углам:

• \(∆ABD\) — прямоугольный, равнобедренный (углы 45, 45, 90).
• \(∆ABC\) — прямоугольный (углы 30, 60, 90).
• \(∆FAB\) — прямоугольный.

По рисунку 2:

\(∆ABC\) и \(∆ADC\) — прямоугольные, если \(AC\) — высота. Углы \(1, 2, 3, 4, 5\) относятся к рисунку 3.

Рассмотрим треугольники на рисунке 3:

\(∆ABC\) - прямоугольный (\(∆A=90^{\circ}\), \(∆C=30^{\circ}\), \(∆ABC=60^{\circ}\)).

\(∆ABD\) - прямоугольный (\(∆A=90^{\circ}\), \(AB=BD\), значит \(∆BDA=∆BAD=45^{\circ}\)).

\(∆FBD\) - прямоугольный (\(∆F=90^{\circ}\)).

Сравнение:

\(∆ABD\) и \(∆ABC\) не равны (разные углы).

По условию задачи, в третьем рисунке, BD является медианой к гипотенузе FA в прямоугольном треугольнике FAB.

Значит, \(BD = AB = \frac{1}{2}FA\).

В \(∆FAB\): \(∆F=90^{\circ}\). \(AB = FA \frac{1}{2}\), \(∆AFB = 30^{\circ}\), \(∆ABF = 60^{\circ}\).

\(∆ABD\) — равнобедренный, \(AB=BD\), \(∆BAD=90^{\circ}\), значит \(∆BDA = ∆ABD = 45^{\circ}\).

\(∆ABC\) — прямоугольный, \(∆A=90^{\circ}\), \(∆C=30^{\circ}\), \(∆ABC=60^{\circ}\).

Треугольники:

1. \(∆ABC\) (30, 60, 90)
2. \(∆FAB\) (60, 30, 90)
3. \(∆ABD\) (45, 45, 90)
4. \(∆FBD\) (15, 75, 90) (\(∆FBD = ∆ABC - ∆ABD = 60^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ}\))

Следовательно, равных прямоугольных треугольников среди них нет.

Однако, если бы ∆AFB = 45°, то ∆FAB было бы равнобедренным (AB=FB), и тогда ∆ABD = ∆FAB. Но ∆AFB = 30°.

Возможно, речь идет о равенстве по двум сторонам и углу между ними (СУС), или по стороне и двум прилежащим углам (УСУ), или по двум углам и стороне между ними (УУС).

По рисунку 3:

• \(∆ABD\) имеет углы 45°, 45°, 90°.
• \(∆ABC\) имеет углы 30°, 60°, 90°.

Учитывая, что BD - медиана в прямоугольном ∆FAB, то BD = AB = AD.

Следовательно, ∆ABD является равнобедренным прямоугольным треугольником.

∆ABC является прямоугольным треугольником.

∆FAB является прямоугольным треугольником.

∆FBD является прямоугольным треугольником.

Сравнивая углы:

• \(∆ABD\) - 45, 45, 90.
• \(∆ABC\) - 30, 60, 90.
• \(∆FAB\) - 30, 60, 90.
• \(∆FBD\) - 15, 75, 90.

Таким образом, ∆ABC и ∆FAB равны, так как у них одинаковые углы (30°, 60°, 90°) и они прямоугольные.

Ответ: ∆ABC = ∆FAB.