2) Найдите градусные меры углов 1, 2, 3, 4, 5.

Решение:

Рассмотрим треугольники на рисунках:

1. Треугольник 1: \(\angle B = 45^{\circ}\). Угол \(A\) может быть \(90^{\circ}\) или \(45^{\circ}\), угол \(C\) соответственно \(45^{\circ}\) или \(90^{\circ}\).
2. Треугольник 2: \(\angle D = 40^{\circ}\). \(AC \bot BD\). \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\) — прямоугольные, если \(AC\) — высота. Однако, \(AC\) делит \(\angle BCD\) на углы 1 и 2. \(\angle C = \angle 1 + \angle 2\). \(\angle C\) не является прямым углом, так как \(40^{\circ} + \angle C \neq 180^{\circ}\) (так как \(\angle A\) не обязательно \(90^{\circ}\)).
3. Треугольник 3: \(\triangle FBD\) — прямоугольный (\(\angle F = 90^{\circ}\)). \(\triangle ABС\) — прямоугольный (\(\angle A = 90^{\circ}\)). \(\angle C = 30^{\circ}\).

Анализ треугольника 3:
\(\triangle ABС\): \(\angle A = 90^{\circ}\), \(\angle C = 30^{\circ}\) => \(\angle ABC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}\).
\(\triangle FBD\): \(\angle F = 90^{\circ}\), \(BD\) — медиана, \(FB = BD = FD\).
\(\triangle AB D\): \(\angle FAB = 90^{\circ}\).
\(BA = AD\) (поскольку \(BD\) — медиана прямоугольного \(\triangle FAB\)).
\(\triangle ABD\) — равнобедренный с \(BA = AD\).
\(\angle 1\) и \(\angle 2\) — углы в \(\triangle ABD\).
\(\angle FBD\) обозначен как 3.

Детальный расчет углов по рисунку 3:

1. Угол 3: В \(\triangle ABС\), \(\angle A = 90^{\circ}\), \(\angle C = 30^{\circ}\), значит \(\angle ABC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}\).
2. Углы 1 и 2: В \(\triangle ABD\), \(BD\) — медиана, проведенная к гипотенузе \(FA\) в прямоугольном \(\triangle FAB\). Поэтому \(FA = 2 \times AB\) и \(BD = AB\). Следовательно, \(\triangle ABD\) — равнобедренный с \(AB = BD\). \(\angle BDA = ∠ 1\). \(\angle DAB = 90^{\circ}\). \(\angle ABD\) — это часть \(\angle ABC\).
3. Углы в ∆FAB: \(∠F = 90^{\circ}\). \(AB\) — катет, \(FB\) — катет. \(BD\) — медиана к гипотенузе \(FA\). Поэтому \(BD = AB\). \(∆ABD\) — равнобедренный с \(AB=BD\). \(∆FBD\) — прямоугольный, \(∆BDA = ∠1\).
4. Рассмотрим ∆ABD: \(AB = BD\) (медиана к гипотенузе в прямоугольном \(∆FAB\)). Следовательно, \(∆ABD\) — равнобедренный. \(∆BAD = 90^{\circ}\). \(∆BDA = ∠ 1\). \(∆ABD = ∠ 1\). Сумма углов в \(∆ABD\): \(90^{\circ} + ∠1 + ∠1 = 180^{\circ}\) => \(2∆1 = 90^{\circ}\) => \(∆1 = 45^{\circ}\).
5. Угол 2: \(∆BDA = ∠1 = 45^{\circ}\). \(∆ADB = 45^{\circ}\).
6. Угол 3: \(∆ABD = ∠1 = 45^{\circ}\).
7. Угол 4: В \(∆ABС\), \(∆A = 90^{\circ}\), \(∆C = 30^{\circ}\). \(∆ABC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}\). \(∆ABC = ∆ABD + ∆DBC\). \(60^{\circ} = 45^{\circ} + ∆DBC\) => \(∆DBC = 15^{\circ}\).
8. Угол 5: \(∆BDC\). В \(∆BDC\), \(∆C = 30^{\circ}\), \(∆DBC = 15^{\circ}\). \(∆BDC = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 15^{\circ} = 135^{\circ}\).

Ответ: Угол 1 = 45°, Угол 2 = 45°, Угол 3 = 45°, Угол 4 = 15°, Угол 5 = 135°.