3. Сократить дробь: (1+2a+a^2)/(a^2-1)

Решение:

Для сокращения этой дроби нам нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

1. Числитель:

   Выражение 1 + 2a + a² является полным квадратом суммы. Это формула квадрата суммы: $$(x+y)² = x² + 2xy + y²$$. В нашем случае x=1, y=a. Поэтому:

   \[ 1 + 2a + a^2 = (1+a)^2 \]
2. Знаменатель:

   Выражение a² - 1 является разностью квадратов. Это формула разности квадратов: $$x² - y² = (x-y)(x+y)$$. В нашем случае x=a, y=1. Поэтому:

   \[ a^2 - 1 = (a-1)(a+1) \]
3. Сокращаем дробь:

   Теперь подставляем разложенные выражения обратно в дробь:

   \[ \frac{(1+a)^2}{(a-1)(a+1)} \]

   Мы можем сократить один множитель (1+a) из числителя и знаменателя:

   \[ \frac{(1+a)\(1+a\)}{(a-1)(1+a)} = \frac{1+a}{a-1} \]

Ответ: \[ \frac{a+1}{a-1} \]