3. Решите уравнение \(\left(\frac{2}{3}\right)^{5x+2} = \frac{9}{4}\)

Решение:

1. Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием \(\frac{2}{3}\): \(\frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\).
2. Теперь уравнение выглядит так: \(\left(\frac{2}{3}\right)^{5x+2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\).
3. Приравниваем показатели степеней: \(5x+2 = -2\).
4. Решаем полученное линейное уравнение: \(5x = -2 - 2 \implies 5x = -4 \implies x = -\frac{4}{5}\).

Ответ: \(x = -\frac{4}{5}\).