2. Решите неравенство \(\frac{2x+4}{(2-x)(x+3)} \le 0\)

Решение:

Решим неравенство методом интервалов.

1. Найдем корни числителя и знаменателя.
• Числитель: \(2x+4=0 \implies x=-2\).
• Знаменатель: \((2-x)(x+3)=0 \implies x=2 \text{ или } x=-3\).
2. Отметим корни на числовой оси: -3, -2, 2.
3. Определим знаки выражений на интервалах:
• При \(x > 2\) (например, \(x=3\)): \(\frac{2(3)+4}{(2-3)(3+3)} = \frac{10}{(-1)(6)} = -\frac{10}{6} < 0\).
• При \(-2 < x < 2\) (например, \(x=0\)): \(\frac{2(0)+4}{(2-0)(0+3)} = \frac{4}{(2)(3)} = \frac{4}{6} > 0\).
• При \(-3 < x < -2\) (например, \(x=-2.5\)): \(\frac{2(-2.5)+4}{(2-(-2.5))(-2.5+3)} = \frac{-5+4}{(4.5)(0.5)} = \frac{-1}{2.25} < 0\).
• При \(x < -3\) (например, \(x=-4\)): \(\frac{2(-4)+4}{(2-(-4))(-4+3)} = \frac{-8+4}{(6)(-1)} = \frac{-4}{-6} > 0\).
4. Неравенство \(\le 0\) выполняется на интервалах \((-3; -2]\) и \((2; \infty)\).

Ответ: \(x ∈ (-3; -2] ∪ (2; +∞)\).