3. Решите треугольник: a = 8; в = 5; ∠A = 65°

Решение:

Дано:

Сторона \( a = 8 \)

Сторона \( b = 5 \)

Угол \( A = 65^{\circ} \)

Найти:

Угол \( B \), Угол \( C \), Сторона \( c \)

1. Найдём угол \( B \) по теореме синусов:
   \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \)
   \( \sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} \)
   \( \sin B = \frac{5 \cdot \sin 65^{\circ}}{8} \)
   \( \sin B \approx \frac{5 \cdot 0.9063}{8} \)
   \( \sin B \approx \frac{4.5315}{8} \)
   \( \sin B \approx 0.5664 \)
   \( B = \arcsin(0.5664) \approx 34.5^{\circ} \)
2. Найдём угол \( C \):
   Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).
   \( C = 180^{\circ} - A - B \)
   \( C \approx 180^{\circ} - 65^{\circ} - 34.5^{\circ} \)
   \( C \approx 80.5^{\circ} \)
3. Найдём сторону \( c \) по теореме синусов:
   \( \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \)
   \( c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} \)
   \( c \approx \frac{8 \cdot \sin 80.5^{\circ}}{\sin 65^{\circ}} \)
   \( c \approx \frac{8 \cdot 0.9865}{0.9063} \)
   \( c \approx \frac{7.892}{0.9063} \)
   \( c \approx 8.71 \)

Ответ: Угол \( B \approx 34.5^{\circ} \), угол \( C \approx 80.5^{\circ} \), сторона \( c \approx 8.71 \).