2. В треугольнике две стороны равны 6 см и 18 см, а угол между ними — 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Решение:

Дано:

Сторона \( a = 6 \) см

Сторона \( b = 18 \) см

Угол \( C = 60^{\circ} \)

Найти:

Сторона \( c \), Площадь \( S \)

1. Найдём третью сторону \( c \) по теореме косинусов:
   \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \)
   \( c^2 = 6^2 + 18^2 - 2 \cdot 6 \cdot 18 \cos 60^{\circ} \)
   \( c^2 = 36 + 324 - 2 \cdot 6 \cdot 18 \cdot \frac{1}{2} \)
   \( c^2 = 360 - 108 \)
   \( c^2 = 252 \)
   \( c = \sqrt{252} = \sqrt{36 \cdot 7} = 6\sqrt{7} \) см
2. Найдём площадь треугольника по формуле:
   \( S = \frac{1}{2}ab \sin C \)
   \( S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 18 \cdot \sin 60^{\circ} \)
   \( S = 54 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)
   \( S = 27\sqrt{3} \) см²

Ответ: Третья сторона равна \( 6\sqrt{7} \) см, площадь равна \( 27\sqrt{3} \) см².