3. Решить системы уравнений a) {27^x = 9^y, 81^x = 3^{y+1}}

Решение:

Дана система уравнений: \( \begin{cases} 27^x = 9^y \\ 81^x = 3^{y+1} \end{cases} \).

1. Представим основания степеней в виде степеней числа 3: \( 27 = 3^3 \), \( 9 = 3^2 \), \( 81 = 3^4 \).
2. Подставим это в систему: \( \begin{cases} (3^3)^x = (3^2)^y \\ (3^4)^x = 3^{y+1} \end{cases} \)
3. Воспользуемся свойством степени \( (a^m)^n = a^{mn} \): \( \begin{cases} 3^{3x} = 3^{2y} \\ 3^{4x} = 3^{y+1} \end{cases} \)
4. Приравняем показатели степеней в каждом уравнении: \( \begin{cases} 3x = 2y \\ 4x = y+1 \end{cases} \)
5. Выразим \( y \) из первого уравнения: \( y = \frac{3}{2}x \).
6. Подставим это выражение для \( y \) во второе уравнение: \( 4x = \frac{3}{2}x + 1 \)
7. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону: \( 4x - \frac{3}{2}x = 1 \)
8. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{8x - 3x}{2} = 1 \)
9. Упростим: \( \frac{5x}{2} = 1 \)
10. Выразим \( x \): \( x = \frac{2}{5} \).
11. Найдем \( y \), подставив значение \( x \) в выражение \( y = \frac{3}{2}x \): \( y = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \).

Ответ: x = 2/5, y = 3/5.