2. Решить показательные уравнения: д) 10 · 5^x-1 + 5^x+1 = 7

Решение:

Дано показательное уравнение: \( 10 \cdot 5^{x-1} + 5^{x+1} = 7 \).

1. Воспользуемся свойствами степеней \( a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \) и \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \): \( 10 \cdot \frac{5^x}{5^1} + 5^x \cdot 5^1 = 7 \)
2. Упростим: \( \frac{10}{5} \cdot 5^x + 5 \cdot 5^x = 7 \)
3. Вычислим \( \frac{10}{5} \): \( 2 \cdot 5^x + 5 \cdot 5^x = 7 \)
4. Введём замену: пусть \( y = 5^x \). Тогда уравнение примет вид: \( 2y + 5y = 7 \)
5. Приведём подобные члены: \( 7y = 7 \)
6. Выразим \( y \): \( y = 1 \)
7. Теперь вернёмся к замене: \( 5^x = 1 \)
8. Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1: \( 5^x = 5^0 \)
9. Приравняем показатели степеней: \( x = 0 \).

Ответ: x = 0.