3. Постройте треугольник АВС, если А(-1; 2), В(-2; -3), С(6; 1). Запишите координаты точек пересечения большей стороны этого треугольника с осями координат.

Решение:

Сначала найдем длины сторон треугольника ABC, чтобы определить, какая сторона является большей.

• Длина стороны AB: \( AB = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \).
• Длина стороны BC: \( BC = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{(8)^2 + (4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} \).
• Длина стороны AC: \( AC = \sqrt{(6 - (-1))^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} \).

Сравним длины сторон: \( \sqrt{26} \), \( \sqrt{80} \), \( \sqrt{50} \). Наибольшая длина у стороны BC, так как \( 80 \) — самое большое число под корнем.

Теперь найдем уравнения прямых, содержащих стороны треугольника, и точки их пересечения с осями координат.

Уравнение прямой AB:

Используем формулу уравнения прямой, проходящей через две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): \( \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \).

Для точек A(-1; 2) и B(-2; -3): \( \frac{y - 2}{-3 - 2} = \frac{x - (-1)}{-2 - (-1)} \) \( \implies \frac{y - 2}{-5} = \frac{x + 1}{-1} \). \( \implies -1(y - 2) = -5(x + 1) \) \( \implies -y + 2 = -5x - 5 \) \( \implies y = 5x + 7 \).

• Пересечение с осью Ox (y=0): \( 0 = 5x + 7 \) \( \implies 5x = -7 \) \( \implies x = -1,4 \). Точка пересечения: (-1,4; 0).
• Пересечение с осью Oy (x=0): \( y = 5(0) + 7 \) \( \implies y = 7 \). Точка пересечения: (0; 7).

Уравнение прямой BC:

Для точек B(-2; -3) и C(6; 1): \( \frac{y - (-3)}{1 - (-3)} = \frac{x - (-2)}{6 - (-2)} \) \( \implies \frac{y + 3}{4} = \frac{x + 2}{8} \). \( \implies 8(y + 3) = 4(x + 2) \) \( \implies 8y + 24 = 4x + 8 \) \( \implies 8y = 4x - 16 \) \( \implies y = 0,5x - 2 \).

• Пересечение с осью Ox (y=0): \( 0 = 0,5x - 2 \) \( \implies 0,5x = 2 \) \( \implies x = 4 \). Точка пересечения: (4; 0).
• Пересечение с осью Oy (x=0): \( y = 0,5(0) - 2 \) \( \implies y = -2 \). Точка пересечения: (0; -2).

Уравнение прямой AC:

Для точек A(-1; 2) и C(6; 1): \( \frac{y - 2}{1 - 2} = \frac{x - (-1)}{6 - (-1)} \) \( \implies \frac{y - 2}{-1} = \frac{x + 1}{7} \). \( \implies 7(y - 2) = -1(x + 1) \) \( \implies 7y - 14 = -x - 1 \) \( \implies 7y = -x + 13 \) \( \implies y = -\frac{1}{7}x + \frac{13}{7} \).

• Пересечение с осью Ox (y=0): \( 0 = -\frac{1}{7}x + \frac{13}{7} \) \( \implies \frac{1}{7}x = \frac{13}{7} \) \( \implies x = 13 \). Точка пересечения: (13; 0).
• Пересечение с осью Oy (x=0): \( y = -\frac{1}{7}(0) + \frac{13}{7} \) \( \implies y = \frac{13}{7} \). Точка пересечения: (0; \( \frac{13}{7} \)).

Большая сторона треугольника — BC. Точки пересечения прямой BC с осями координат:

С осью Ox: (4; 0).

С осью Oy: (0; -2).

Ответ: Координаты точек пересечения большей стороны (BC) с осями координат: (4; 0) и (0; -2).