3. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12, высота призмы равна 8. Найдите площадь ее поверхности.

Задание 3. Площадь поверхности треугольной призмы

Дано:

• Основание — прямоугольный треугольник с катетами \( a=5 \), \( b=12 \).
• Высота призмы: \( h = 8 \).

Найти: площадь поверхности призмы \( S \).

Решение:

1. Найдем гипотенузу основания \( c \) по теореме Пифагора: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] \[ c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \] \[ c = \sqrt{169} = 13 \]
2. Площадь основания \( S_{осн} \) (площадь прямоугольного треугольника): \[ S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \]
3. Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \) (сумма площадей трех прямоугольников): \( S_{бок} = P_{осн} \cdot h \), где \( P_{осн} \) — периметр основания.
4. Периметр основания: \( P_{осн} = a + b + c = 5 + 12 + 13 = 30 \)
5. Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = 30 \cdot 8 = 240 \)
6. Полная площадь поверхности призмы: \( S = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 30 + 240 = 60 + 240 = 300 \)

Ответ: 300.