3. Около окружности с радиусом 10см, описана равнобедренная трапеция с боковой стороной 29см. Найдите основания трапеции.

Решение:

Пусть \(R\) — радиус вписанной окружности, \(c\) — боковая сторона равнобедренной трапеции, \(a\) и \(b\) — основания трапеции.

Высота трапеции \(h\) равна диаметру вписанной окружности: \(h = 2R = 2 \cdot 10 = 20\) см.

Для трапеции, описанной около окружности, выполняется свойство: сумма противоположных сторон равна. Так как трапеция равнобедренная, то \(a + b = 2c\).

По условию, \(c = 29\) см. Значит, \(a + b = 2 \cdot 29 = 58\) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \(h\), боковой стороной \(c\) и отрезком основания. Длина этого отрезка равна \(\frac{|a-b|}{2}\).

По теореме Пифагора: \(h^2 + \left(\frac{|a-b|}{2}\right)^2 = c^2\).

Подставляем известные значения: \(20^2 + \left(\frac{|a-b|}{2}\right)^2 = 29^2\).

\(400 + \left(\frac{|a-b|}{2}\right)^2 = 841\).

\(\( \frac{|a-b|}{2} \)\|^2 = 841 - 400 = 441\).

\(\frac{|a-b|}{2} = \sqrt{441} = 21\) см.

\(|a-b| = 2 \cdot 21 = 42\) см.

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \(a + b = 58\)
2. \(|a-b| = 42\)

Рассмотрим два случая для второго уравнения:

Случай 1: \(a > b\)

\(a - b = 42\)

Складываем первое и второе уравнения:

\((a + b) + (a - b) = 58 + 42\)

\(2a = 100\)

\(a = 50\) см.

Подставляем \(a = 50\) в первое уравнение: \(50 + b = 58\) \(\Rightarrow\) \(b = 8\) см.

Случай 2: \(b > a\)

\(b - a = 42\)

Складываем первое уравнение и \(b - a = 42\) (или \(-a + b = 42\)):

\((a + b) + (-a + b) = 58 + 42\)

\(2b = 100\)

\(b = 50\) см.

Подставляем \(b = 50\) в первое уравнение: \(a + 50 = 58\) \(\Rightarrow\) \(a = 8\) см.

В обоих случаях основания трапеции равны 50 см и 8 см.

Ответ: 50 см и 8 см.