1. Четырёхугольник вписан в окружность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ADC.

Решение:

Вписанный четырёхугольник обладает свойством, что сумма противоположных углов равна 180°.

Так как углы \(\angle ABD\) и \(\angle ACD\) опираются на одну дугу \(AD\), то \(\angle ACD = \angle ABD = 75°\).

Аналогично, углы \(\angle CAD\) и \(\angle CBD\) опираются на дугу \(CD\), следовательно \(\angle CBD = \angle CAD = 35°\).

В четырёхугольнике \(ABCD\) нам нужно найти угол \(\angle ADC\). Мы знаем, что \(\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC\).

Угол \(\angle ADB\) является частью треугольника \(ABD\). Сумма углов в треугольнике равна 180°. Но нам не хватает информации для нахождения \(\angle ADB\) напрямую.

Рассмотрим другой подход. Вписанный четырёхугольник \(ABCD\) обладает свойством: сумма противоположных углов равна 180°.

Следовательно, \(\angle ABC + \angle ADC = 180°\) и \(\angle BAD + \angle BCD = 180°\).

Мы можем найти \(\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD\). Угол \(\angle BAC\) опирается на дугу \(BC\). Угол \(\angle BDC\) также опирается на дугу \(BC\), значит \(\angle BAC = \angle BDC\).

Угол \(\angle CAD = 35°\). Угол \(\angle ABD = 75°\).

Угол \(\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD\). Угол \(\angle BCA\) опирается на дугу \(AB\). Угол \(\angle ADB\) опирается на дугу \(AB\), значит \(\angle BCA = \angle ADB\).

Мы знаем, что \(\angle ACD = 75°\).

Угол \(\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 75° + 35° = 110°\).

Так как \(\angle ABC + \angle ADC = 180°\), то \(\angle ADC = 180° - \angle ABC = 180° - 110° = 70°\).

Проверка:

\(\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD\). Угол \(\angle CBD = 35°\), он опирается на дугу \(CD\). Угол \(\angle CAD = 35°\) тоже опирается на дугу \(CD\). Значит \(\angle CBD = \angle CAD = 35°\).

\(\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 75° + 35° = 110°\).

\(\angle ADC = 180° - \angle ABC = 180° - 110° = 70°\).

Теперь найдём \(\angle BAD\).

В треугольнике \(ABD\): \(\angle BAD = 180° - \angle ABD - \angle ADB\). Нам нужно \(\angle ADB\).

Угол \(\angle BDC\) опирается на дугу \(BC\). Угол \(\angle BAC\) опирается на дугу \(BC\). Нам не известен \(\angle BAC\).

Давайте используем свойство вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна 180°.

\(\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC\). Угол \(\angle DBC\) равен углу \(\angle DAC\), так как они опираются на одну дугу \(DC\). \(\angle DAC = 35°\). Значит, \(\angle DBC = 35°\).

\(\angle ABC = 75° + 35° = 110°\).

\(\angle ADC = 180° - \angle ABC = 180° - 110° = 70°\).

Ответ: \(\angle ADC = 70°\).