3. Одно из двух натуральных чисел при делении на 13 дает остаток 7, а другое — остаток 2. Какой остаток получится при делении произведения этих чисел на 13?

3. Нахождение остатка от произведения чисел:

Пусть первое натуральное число — \( N_1 \), а второе — \( N_2 \).

По условию задачи, при делении \( N_1 \) на 13 остаток равен 7. Это можно записать как:

\( N_1 = 13k + 7 \), где \( k \) — целое число.

При делении \( N_2 \) на 13 остаток равен 2. Это можно записать как:

\( N_2 = 13m + 2 \), где \( m \) — целое число.

Теперь найдём произведение этих чисел:

\( N_1 \cdot N_2 = (13k + 7)(13m + 2) \)

Раскроем скобки:

\( N_1 \cdot N_2 = 13k \cdot 13m + 13k \cdot 2 + 7 \cdot 13m + 7 \cdot 2 \)

\( = 169km + 26k + 91m + 14 \)

Вынесем за скобки множитель 13 из первых трёх слагаемых:

\( = 13(13km + 2k + 7m) + 14 \)

Теперь рассмотрим число 14. При делении 14 на 13, остаток будет 1.

\( 14 = 13 \cdot 1 + 1 \)

Подставим это обратно в наше выражение:

\( N_1 \cdot N_2 = 13(13km + 2k + 7m) + 13 \cdot 1 + 1 \)

Вынесем 13 за скобки ещё раз:

\( N_1 \cdot N_2 = 13(13km + 2k + 7m + 1) + 1 \)

Выражение в скобках является целым числом, так как \( k \) и \( m \) — целые. Следовательно, произведение \( N_1 \cdot N_2 \) при делении на 13 даёт остаток 1.

Альтернативное решение:

Если число при делении на 13 даёт остаток 7, то это число эквивалентно 7 по модулю 13 (\( N_1 \equiv 7 \pmod{13} \)).

Если число при делении на 13 даёт остаток 2, то это число эквивалентно 2 по модулю 13 (\( N_2 \equiv 2 \pmod{13} \)).

Тогда произведение этих чисел будет эквивалентно произведению их остатков по модулю 13:

\( N_1 \cdot N_2 \equiv 7 \cdot 2 \pmod{13} \)

\( N_1 \cdot N_2 \equiv 14 \pmod{13} \)

Остаток от деления 14 на 13 равен 1.

\( 14 = 1 \cdot 13 + 1 \)

Следовательно, \( N_1 \cdot N_2 \equiv 1 \pmod{13} \).

Ответ: Остаток будет 1.