3. Найти интеграл \( \int_{0}^{2} (x^2 + 1)dx \)

Решение:

Найдём неопределённый интеграл от функции \( x^2 + 1 \):

\( \int (x^2 + 1)dx = \int x^2dx + \int 1dx = \frac{x^3}{3} + x + C \)

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) \), где \( F(x) \) — первообразная.

\( \int_{0}^{2} (x^2 + 1)dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{2} \)

\( = \left( \frac{2^3}{3} + 2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 \right) \)

\( = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - (0) \)

\( = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} \)

\( = \frac{14}{3} \)

Представим в виде смешанной дроби: \( \frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3} \).

Ответ: \( 4\frac{2}{3} \)