3) Найдите значение выражения \(\frac{a^{19} \cdot b^{4}}{\left(a \cdot b^{2}\right)^{2}}\) при \( a=2, b=\sqrt{2}\)

Решение:

1. Упростим выражение: \( \frac{a^{19} \cdot b^{4}}{\left(a \cdot b^{2}\right)^{2}} = \frac{a^{19} \cdot b^{4}}{a^{2} \cdot \left(b^{2}\right)^{2}} = \frac{a^{19} \cdot b^{4}}{a^{2} \cdot b^{4}} \)
2. Сократим: \( = a^{19-2} \cdot b^{4-4} = a^{17} \cdot b^{0} = a^{17} \)
3. Подставим значения \( a=2 \) и \( b=\sqrt{2} \): \( 2^{17} \cdot (\sqrt{2})^{0} = 2^{17} \cdot 1 = 2^{17} \)

Ответ: 2¹⁷