3. Найдите значение выражения \(\frac{2^{10} \cdot 11^{7}}{22^{7}}\)

Решение:

Чтобы упростить выражение, представим знаменатель \(22^{7}\) как \((2 \cdot 11)^{7}\).

1. Распишем выражение: \(\frac{2^{10} \cdot 11^{7}}{22^{7}} = \frac{2^{10} \cdot 11^{7}}{(2 \cdot 11)^{7}}\).
2. Применим свойство степени \((ab)^n = a^n b^n\): \(\frac{2^{10} \cdot 11^{7}}{2^{7} \cdot 11^{7}}\).
3. Сократим одинаковые основания \(11^{7}\): \(\frac{2^{10}}{2^{7}}\).
4. Применим свойство степени \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \(2^{10-7} = 2^3\).
5. Вычислим результат: \(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\).

Ответ: 8