3. Найдите значение выражения √54 ⋅ 90 ⋅ 15

Решение:

• Разложим числа под корнем на множители, чтобы выделить полные квадраты: \[ 54 = 9 \cdot 6 = 3^2 \cdot 2 \cdot 3 \] \[ 90 = 9 \cdot 10 = 3^2 \cdot 2 \cdot 5 \] \[ 15 = 3 \cdot 5 \]
• Теперь подставим эти разложения под корень: \[ \sqrt{(3^2 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (3^2 \cdot 2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5)} \]
• Сгруппируем одинаковые множители: \[ \sqrt{3^2 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5} = \sqrt{3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2 \cdot 2^2 \cdot 5^2} \]
• Извлечем квадратный корень из полных квадратов: \[ 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 \]
• Перемножим полученные числа: \[ 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 27 \cdot 10 = 270 \]

Ответ: 270