3. На рисунке изображено дерево некоторого случайного эксперимента и показаны события А и В. Расставьте недостающие вероятности около рёбер и найдите вероятность события В.

Решение:

Расставим недостающие вероятности:

Начальная точка S.

• Ветвь S → ... : вероятность 0,5.
• Ветвь S → ... : вероятность 0,4.
• Ветвь S → ... : вероятность 0,1.

Сумма вероятностей исходящих из S: 0,5 + 0,4 + 0,1 = 1 (это верно).

Рассмотрим ветви, ведущие к событию А:

• Ветвь, идущая из точки с вероятностью 0,5, имеет далее две ветви с вероятностями 0,3 и 0,7 (так как 0,3 + 0,7 = 1).
• Ветвь, идущая из точки с вероятностью 0,4, имеет далее две ветви с вероятностями 0,1 и 0,9 (так как 0,1 + 0,9 = 1).

Событие А включает пути:

• S → (0,5) → (0,3) → А
• S → (0,4) → (0,1) → А

Найдем вероятность события В:

Событие В включает пути:

• S → (0,5) → (0,7) → В
• S → (0,4) → (0,9) → В
• S → (0,1) → ...

Сначала найдем вероятность до точки, из которой идёт ветвь к В с вероятностью 0,3. Эта точка находится на ветви, где из S вероятность 0,5. Значит, вероятность попасть в эту точку = 0,5 * 0,7 = 0,35.

Вероятность попасть в В по этой ветви: 0,35 * 0,3 = 0,105.

Теперь рассмотрим ветвь, где из S вероятность 0,4. Вероятность попасть в точку, из которой идёт ветвь к В с вероятностью 0,3, равна 0,4 * 0,9 = 0,36.

Вероятность попасть в В по этой ветви: 0,36 * 0,3 = 0,108.

Последняя ветвь, ведущая к В, исходит из точки с вероятностью 0,1. Вероятность этой ветви - 0,3. Итого: 0,1 * 0,3 = 0,03.

Общая вероятность события В:

\[ P(B) = (0.5 · 0.7 · 0.3) + (0.4 · 0.9 · 0.3) + (0.1 · 0.3) \]

\[ P(B) = (0.35 · 0.3) + (0.36 · 0.3) + 0.03 \]

\[ P(B) = 0.105 + 0.108 + 0.03 \]

\[ P(B) = 0.243 \]

Ответ: Недостающие вероятности: 0,7; 0,9; 0,3. Вероятность события В равна 0,243.