№3. На плоскости даны четыре точки. Сколько прямых можно провести через эти точки так, чтобы на каждой прямой лежали хотя бы две из данных точек? Рассмотрите все возможные случаи. Сделайте чертежи.

Рассмотрим все взаимно различные точки.

1. Все четыре точки лежат на одной прямой: 1 прямая.
2. Три точки лежат на одной прямой, а четвёртая — вне неё: прямая через три точки и три прямые от четвёртой точки к каждой из трёх. Всего \(1+3=4\) прямые.
3. Две пары точек лежат на двух разных прямых: две прямые через пары и четыре соединяющие прямые между парами. Всего \(2+4=6\) прямых? Нет: при двух парах всего \(\binom{4}{2}=6\) пар точек, и каждая пара задаёт отдельную прямую, поэтому всего 6 прямых.
4. Никакие три точки не лежат на одной прямой: каждая пара точек задаёт отдельную прямую. Число прямых равно числу пар: \(\binom{4}{2}=\frac{4\cdot3}{2}=6\).

Важно: случай «две пары на двух разных прямых» не уменьшает число прямых, потому что прямые, соединяющие точки разных пар, различны.

Ответ: возможны 1, 4 или 6 прямых.