3. На клетчатой бумаге нарисуйте паркет, составленный из шестиугольников, как на рисунке. Раскрасьте паркет так, чтобы соседние фигуры были окрашены в разные цвета. Какое наименьшее количество цветов для этого потребуется?

Решение:

Чтобы определить наименьшее количество цветов, необходимое для раскраски паркета из шестиугольников так, чтобы соседние фигуры имели разные цвета, нужно рассмотреть, сколько соседей может иметь шестиугольник.

На рисунке видно, что шестиугольники расположены так, что каждый шестиугольник может иметь до трех соседних шестиугольников (если рассматривать внутреннюю часть паркета, а не края).

Если мы начнем раскрашивать, то:

1. Первый шестиугольник красим в цвет 1.
2. Соседний с ним красим в цвет 2.
3. Шестиугольник, соседний с первым и вторым, красим в цвет 3.
4. Следующий шестиугольник, соседний только с первым, можно покрасить в цвет 2.
5. Шестиугольник, соседний только со вторым, можно покрасить в цвет 1.

Можно рассмотреть это как задачу о раскраске графа. Вершины графа — шестиугольники, ребра — соседство.

Минимальное количество цветов, необходимое для раскраски любой плоскостной карты (или паркета), равно 4. Однако, если фигуры являются выпуклыми многоугольниками, как шестиугольники, то достаточно 3 цветов. Каждый шестиугольник имеет максимум 3 соседа, если мы не будем учитывать крайние случаи, где число соседей может быть меньше.

Рассмотрим трехцветную раскраску:

Шестиугольники чередуются так, что каждый может быть окрашен в один из трех цветов, при условии, что ни один из двух соседей не имеет такого же цвета.

Например:

• Центральный шестиугольник — цвет 1.
• Три его соседа — цвета 2, 3, 2 (или 2, 3, 1, если учитывать, что соседний с 2 и 3 может быть 1).
• Далее, раскрашивая по этому принципу, мы можем покрыть всю плоскость, используя только 3 цвета.

Ответ: Для раскраски паркета наименьшее количество цветов, которое потребуется, — 3.