3. Из центра окружности O к хорде AB, равной 20 см, проведен перпендикуляр OC. Найдите его длину, если \(\angle\) OBA = 45°.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник OBC. Так как OC – перпендикуляр к хорде AB, то OC делит хорду пополам. Следовательно, \( BC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 20 \text{ см} = 10 \text{ см} \).
2. В прямоугольном треугольнике OBC, \( \angle OCB = 90° \) и \( \angle OBA = 45° \). Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому \( \angle BOC = 180° - 90° - 45° = 45° \).
3. Так как \( \angle OBA = \angle BOC = 45° \), то треугольник OBC является равнобедренным, и \( OC = BC \).
4. Следовательно, \( OC = 10 \text{ см} \).

Ответ: 10 см.