3. Из точки М к окружности с центром О и радиусом 8см проведены касательные АМ и ВМ (А и В - точки касания). Найдите периметр треугольника АВМ, если ∠AOB =120°.

Решение:

1. Так как АМ и ВМ — касательные к окружности, проведенные из точки М, то ОА \(\perp\) АМ и ОВ \(\perp\) ВМ. Следовательно, \( \angle OAM = \angle OBM = 90^{\circ} \).
2. Рассмотрим четырехугольник АОВМ. Сумма углов в четырехугольнике равна \( 360^{\circ} \).
3. \( \angle AOB + \angle OAM + \angle AMB + \angle OBM = 360^{\circ} \).
4. \( 120^{\circ} + 90^{\circ} + \angle AMB + 90^{\circ} = 360^{\circ} \).
5. \( \angle AMB = 360^{\circ} - 120^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} = 60^{\circ} \).
6. В треугольнике АОВ: ОА = ОВ = 8 см (радиусы). Треугольник АОВ — равнобедренный.
7. \( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).
8. В треугольнике ОАМ: \( \angle OAM = 90^{\circ} \), \( OA = 8 \) см.
9. \( \angle AOM = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ} \) (так как треугольники ОАМ и ОВМ равны).
10. В прямоугольном треугольнике ОАМ: \( \tan(\angle AOM) = \frac{AM}{OA} \).
11. \( \tan(60^{\circ}) = \frac{AM}{8} \).
12. \( \sqrt{3} = \frac{AM}{8} \).
13. \( AM = 8\sqrt{3} \) см.
14. Так как АМ и ВМ — касательные, проведенные из точки М, то АМ = ВМ.
15. \( AM = BM = 8\sqrt{3} \) см.
16. Периметр треугольника АВМ равен \( AM + BM + AB \).
17. В треугольнике АОВ найдем длину АВ, используя теорему косинусов: \( AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB) \).
18. \( AB^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(120^{\circ}) \).
19. \( AB^2 = 64 + 64 - 2 \cdot 64 \cdot (-\frac{1}{2}) \).
20. \( AB^2 = 128 + 64 = 192 \).
21. \( AB = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3} \) см.
22. Периметр треугольника АВМ = \( 8\sqrt{3} + 8\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \) см.

Ответ: Периметр треугольника АВМ равен \( 24\sqrt{3} \) см.