1. KN и КМ — отрезки касательных, проведенных из точки К к окружности с центром в точке О. Найдите KN и КМ, если ОК = 12 см, ∠MON = 120°.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Анализируем условие. KN и KM — отрезки касательных из точки K к окружности с центром O. OK = 12 см, ∠MON = 120°. Нужно найти длины отрезков KN и KM.
2. Шаг 2: Вспоминаем свойства касательных: отрезок, соединяющий центр окружности с точкой касания (ON и OM), перпендикулярен касательной (KN и KM соответственно). Таким образом, треугольники ΔOKN и ΔOKM — прямоугольные.
3. Шаг 3: Рассмотрим угол ∠MON. Так как KN и KM — касательные, то луч OK является биссектрисой ∠MON (и ∠KNM). Следовательно, ∠KON = ∠KOM = ∠MON / 2 = 120° / 2 = 60°.
4. Шаг 4: В прямоугольном треугольнике ΔOKN: ∠ONK = 90°, ∠KON = 60°, OK (гипотенуза) = 12 см. Нам нужно найти катет KN. Используем тригонометрическую функцию тангенса: \( \tan(\angle KON) = \frac{KN}{ON} \) или косинуса: \( \cos(\angle KON) = \frac{ON}{OK} \) и синуса: \( \sin(\angle KON) = \frac{KN}{OK} \).
5. Шаг 5: Из \( \sin(60°) = \frac{KN}{12} \) находим KN: \( KN = 12 \cdot \sin(60°) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \) см.
6. Шаг 6: Так как KN и KM — отрезки касательных, проведенных из одной точки, то их длины равны: KN = KM. Следовательно, \( KM = 6\sqrt{3} \) см.

Ответ: KN = KM = 6\sqrt{3} см