3. Исследовать функцию на монотонность и экстремум: f(x) = 6x² - 2x³ + 3

Исследование функции f(x) = 6x² - 2x³ + 3:

1. Найдём производную функции:
   \( f'(x) = (6x^2 - 2x^3 + 3)' = 12x - 6x^2 \).
2. Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
   \( 12x - 6x^2 = 0 \)
   \( 6x(2 - x) = 0 \)
   \( x = 0 \) или \( x = 2 \).
3. Определим знаки производной на интервалах:
   
   • На интервале \( (-\infty, 0) \): возьмём \( x = -1 \), \( f'(-1) = 12(-1) - 6(-1)^2 = -12 - 6 = -18 < 0 \). Функция убывает.
   • На интервале \( (0, 2) \): возьмём \( x = 1 \), \( f'(1) = 12(1) - 6(1)^2 = 12 - 6 = 6 > 0 \). Функция возрастает.
   • На интервале \( (2, +\infty) \): возьмём \( x = 3 \), \( f'(3) = 12(3) - 6(3)^2 = 36 - 54 = -18 < 0 \). Функция убывает.
4. Определим точки экстремума:
   
   • В точке \( x = 0 \) происходит смена знака производной с '-' на '+', значит, это точка минимума.
   • В точке \( x = 2 \) происходит смена знака производной с '+' на '-', значит, это точка максимума.
5. Вычислим значения функции в точках экстремума:
   \( f(0) = 6(0)^2 - 2(0)^3 + 3 = 3 \).
   \( f(2) = 6(2)^2 - 2(2)^3 + 3 = 6(4) - 2(8) + 3 = 24 - 16 + 3 = 11 \).

Ответ: Функция убывает на \( (-\infty, 0) \) и \( (2, +\infty) \). Функция возрастает на \( (0, 2) \). Точка минимума: \( (0, 3) \). Точка максимума: \( (2, 11) \).