3. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, BK=7, DK=14, BC=10. Найдите AD.

Задание 3. Свойство секущих, проведенных из одной точки к окружности

Дано:

• Четырёхугольник \( ABCD \) вписан в окружность.
• Прямые \( AB \) и \( CD \) пересекаются в точке \( K \).
• \( BK = 7 \).
• \( DK = 14 \).
• \( BC = 10 \).

Найти: \( AD \).

Решение:

1. Рассмотрим секущие \( KBC \) и \( KAD \), исходящие из точки \( K \) к окружности.
2. По свойству секущих, произведение отрезков каждой секущей от внешней точки до точек пересечения с окружностью равно: \[ KB \cdot KA = KC \cdot KD \].
3. Нам дано, что \( BK = 7 \) и \( DK = 14 \).
4. Также известно, что \( BC = 10 \).
5. Для секущей \( KBC \), \( KB = 7 \) и \( KC = KB + BC = 7 + 10 = 17 \).
6. Для секущей \( KAD \), \( KD = 14 \) и \( KA = KD + AD = 14 + AD \).
7. Подставим значения в формулу: \[ 7 \cdot (14 + AD) = 17 \cdot 14 \]
8. Раскроем скобки: \[ 98 + 7  AD = 238 \]
9. Вычислим \( 7  AD \): \[ 7  AD = 238 - 98 \]
10. \( 7  AD = 140 \]
11. Найдём \( AD \): \[ AD = \frac{140}{7} = 20 \].

Ответ: 20