10. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно, AB=54, AC=48, MN=40. Найдите АМ.

Задание 10. Подобие треугольников

Дано:

• \( \triangle ABC \).
• Прямая \( MN \) параллельна \( AC \), \( M \) на \( AB \), \( N \) на \( BC \).
• \( AB = 54 \).
• \( AC = 48 \).
• \( MN = 40 \).

Найти: \( AM \).

Решение:

1. Так как \( MN \parallel AC \), то \( \triangle MBN \) подобен \( \triangle ABC \) по двум углам: \( \angle B \) — общий, \( \angle BMN = \angle BAC \) как соответственные при параллельных прямых \( MN \) и \( AC \) и секущей \( AB \).
2. Поэтому отношение соответствующих сторон равно: \[ \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \].
3. Подставим известные значения: \[ \frac{BM}{54} = \frac{BN}{BC} = \frac{40}{48} \].
4. Упростим дробь \( \frac{40}{48} = \frac{5 \u0018 8}{6 \u0018 8} = \frac{5}{6} \).
5. Значит, \( \frac{BM}{54} = \frac{5}{6} \).
6. Найдем \( BM \): \[ BM = 54 \u0018 \frac{5}{6} = 9 \u0018 5 = 45 \].
7. Нам нужно найти \( AM \). Так как \( M \) лежит на \( AB \), то \( AB = AM + MB \).
8. \( AM = AB - BM = 54 - 45 = 9 \).

Ответ: 9