3. Биссектрисы углов А и В параллелограмма пересекаются в точке О на стороне ВС. Найти периметр параллелограмма АВСD, если вся сторона АВ = 5 см.

Решение:

Пусть \(AO\) — биссектриса \(\angle\) А, \(BO\) — биссектриса \(\angle\) В. Точка \(O\) лежит на стороне \(BC\).

Так как \(AO\) — биссектриса \(\angle\) А, то \(\angle\) BAO = \(\angle\) DAO.

Так как \(AB \parallel CD\) и \(AD \parallel BC\), то \(\angle\) DAO = \(\angle\) AOB (как накрест лежащие углы при параллельных \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AO\)).

Следовательно, \(\angle\) BAO = \(\angle\) AOB. Это означает, что треугольник \(ABO\) — равнобедренный с основанием \(AO\). Значит, \(AB = BO\).

Аналогично, так как \(BO\) — биссектриса \(\angle\) B, то \(\angle\) ABO = \(\angle\) CBO.

Так как \(AB \parallel BC\) и \(BO\) — секущая, то \(\angle\) ABO = \(\angle\) BOC (как накрест лежащие углы).

Следовательно, \(\angle\) CBO = \(\angle\) BOC. Это означает, что треугольник \(BOC\) — равнобедренный с основанием \(OC\). Значит, \(BC = CO\).

Мы знаем, что \(AB = 5\) см. Следовательно, \(BO = 5\) см.

Так как \(O\) лежит на стороне \(BC\), то \(BC = BO + OC\).

В параллелограмме противоположные стороны равны: \(AB = CD = 5\) см и \(BC = AD\).

Так как \(BC = BO + OC\) и \(BC = AD\), а \(BO = AB = 5\) см, то \(BC = 5 + OC\).

Из того, что \(BC = CO\) (из равнобедренного \(BOC\)) следует, что \(BO = 5\) см, а \(BC = 2 \cdot BO = 2 \cdot 5 = 10\) см.

Периметр параллелограмма \(P = 2(AB + BC)\).

\(P = 2(5 + 10) = 2(15) = 30\) см.

Ответ: Периметр параллелограмма равен 30 см.