3. Амплитудный спектр непериодической функции, заданной на всей числовой прямой. Представить функцию интегралом Фурье в тригонометрической форме.

Задание 3.

Представить функцию интегралом Фурье в тригонометрической форме.

6. \( f(x) = \begin{cases} 1, & |x| < 1 \\ \frac{1}{2}, & |x| = 1 \\ 0, & |x| > 1 \end{cases} \)

Построить амплитудный спектр функции.

Решение:

Данная функция является чётной, так как \( f(-x) = 1 \) при \( |-x|<1 \) (т.е. \( |x|<1 \)), \( f(-x) = 1/2 \) при \( |-x|=1 \) (т.е. \( |x|=1 \)), и \( f(-x)=0 \) при \( |-x|>1 \) (т.е. \( |x|>1 \)).

Для чётной функции \( b(\omega) = 0 \). Коэффициенты \( a(\omega) \) вычисляются как:

\[ a(\omega) = 2 \int_{0}^{\infty} f(x) \cos(\omega x) dx = 2 \int_{0}^{1} 1 \cdot \cos(\omega x) dx \]

\[ a(\omega) = 2 \left[ \frac{\sin(\omega x)}{\omega} \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{\sin(\omega)}{\omega} - 0 \right) = \frac{2\sin(\omega)}{\omega} \]

Тригонометрическая форма интеграла Фурье:

\[ f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} a(\omega) \cos(\omega x) d\omega = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{2\sin(\omega)}{\omega} \cos(\omega x) d\omega \]

Амплитудный спектр:

Амплитудный спектр \( A(\omega) \) связан с \( a(\omega) \) и \( b(\omega) \) следующим образом:

Для чётной функции \( A(\omega) = \frac{a(\omega)}{\pi} \) (если интегрировать от 0 до \(\infty\) и делить на \(\pi\)).

\[ A(\omega) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{2\sin(\omega)}{\omega} = \frac{2\sin(\omega)}{\pi \omega} \]

Ответ:

6.

Тригонометрическая форма: \( f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{2\sin(\omega)}{\omega} \cos(\omega x) d\omega \)

Амплитудный спектр: \( A(\omega) = \frac{2\sin(\omega)}{\pi \omega} \)