2. Представление функции интегралом Фурье в тригонометрической форме. Представить функцию интегралом Фурье в тригонометрической форме.

Задание 2.

Представить функцию интегралом Фурье в тригонометрической форме:

3. \( f(x) = \begin{cases} x + 1, & |x| \le 1 \\ 0, & |x| > 1 \end{cases} \)

4. \( f(x) = \begin{cases} 1, & -1 < x < 3 \\ \frac{1}{2}, & x = -1, x = 3 \\ 0, & x > 3, x < -1 \end{cases} \)

5. \( f(x) = \begin{cases} 1-x, & 0 \le x \le 1 \\ 0, & x > 1 \end{cases} , f(-x) = f(x) \)

Решение для 3:

Функция \( f(x) \) является чётной, так как \( f(-x) = -x+1 \) при \( |-x| \le 1 \) и \( f(-x)=0 \) при \( |-x| > 1 \), что не совпадает с \( f(x) \). Это не чётная и не нечётная функция. Используем полную формулу:

\[ f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \left[ a(\omega) \cos(\omega x) + b(\omega) \sin(\omega x) \right] d\omega \]

Сначала найдём \( a(\omega) \) и \( b(\omega) \):

\[ a(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \cos(\omega x) dx = \int_{-1}^{1} (x+1) \cos(\omega x) dx \]

Интегрируем по частям:

\[ a(\omega) = \left[ \frac{x+1}{\omega} \sin(\omega x) \right]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1} \frac{1}{\omega} \sin(\omega x) dx \]

\[ a(\omega) = \left( \frac{2}{\omega} \sin(\omega) - 0 \right) - \left[ -\frac{1}{\omega^2} \cos(\omega x) \right]_{-1}^{1} = \frac{2\sin(\omega)}{\omega} + \frac{1}{\omega^2} (\cos(\omega) - \cos(-\omega)) = \frac{2\sin(\omega)}{\omega} \]

\[ b(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \sin(\omega x) dx = \int_{-1}^{1} (x+1) \sin(\omega x) dx \]

Интегрируем по частям:

\[ b(\omega) = \left[ -\frac{x+1}{\omega} \cos(\omega x) \right]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1} -\frac{1}{\omega} \cos(\omega x) dx \]

\[ b(\omega) = \left( -\frac{2}{\omega} \cos(\omega) - 0 \right) + \frac{1}{\omega} \left[ \frac{1}{\omega} \sin(\omega x) \right]_{-1}^{1} = -\frac{2\cos(\omega)}{\omega} + \frac{1}{\omega^2} (\sin(\omega) - \sin(-\omega)) \]

\[ b(\omega) = -\frac{2\cos(\omega)}{\omega} + \frac{2\sin(\omega)}{\omega^2} \]

Решение для 4:

Функция \( f(x) \) является чётной, так как \( f(-x) = 1 \) при \( |-x|<3 \) и \( f(-x)=1/2 \) при \( x = -1, 3 \) и \( f(-x)=0 \) при \( |-x|>3 \). Это не чётная и не нечётная функция. Будем использовать полную тригонометрическую форму.

Так как функция задана кусочно, и её значения в точках \( x=-1 \) и \( x=3 \) отличаются от предельных значений, будем использовать интегральное представление Фурье.

\[ a(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \cos(\omega x) dx \]

\[ a(\omega) = \int_{-1}^{3} 1 \cdot \cos(\omega x) dx + \int_{-1}^{3} \frac{1}{2} \cdot \cos(\omega x) dx \]

\[ a(\omega) = \int_{-1}^{3} \frac{3}{2} \cos(\omega x) dx = \frac{3}{2} \left[ \frac{\sin(\omega x)}{\omega} \right]_{-1}^{3} = \frac{3}{2\omega} (\sin(3\omega) - \sin(-\omega)) = \frac{3}{2\omega} (\sin(3\omega) + \sin(\omega)) \]

\[ b(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \sin(\omega x) dx = \int_{-1}^{3} 1 \cdot \sin(\omega x) dx + \int_{-1}^{3} \frac{1}{2} \cdot \sin(\omega x) dx \]

\[ b(\omega) = \int_{-1}^{3} \frac{3}{2} \sin(\omega x) dx = \frac{3}{2} \left[ -\frac{\cos(\omega x)}{\omega} \right]_{-1}^{3} = \frac{3}{2\omega} (-\cos(3\omega) - (-\cos(-\omega))) = \frac{3}{2\omega} (\cos(\omega) - \cos(3\omega)) \]

Решение для 5:

Функция \( f(x) \) чётная, так как \( f(-x) = 1 - (-x) = 1+x \) для \( 0 \le -x \le 1 \) (т.е. \( -1 \le x \le 0 \)), и \( f(-x)=0 \) для \( -x > 1 \) (т.е. \( x < -1 \)).

По условию \( f(-x) = f(x) \). Проверим:

Если \( 0 \le x \le 1 \), то \( f(x) = 1-x \).

Если \( -1 \le x < 0 \), то \( -x \) находится в диапазоне \( 0 < -x \le 1 \), значит \( f(-x) = 1 - (-x) = 1+x \).

Если \( x > 1 \), то \( f(x)=0 \).

Если \( x < -1 \), то \( -x > 1 \), значит \( f(-x)=0 \).

Функция чётная.

Для чётной функции \( b(\omega) = 0 \). Коэффициенты \( a(\omega) \) вычисляются как:

\[ a(\omega) = 2 \int_{0}^{\infty} f(x) \cos(\omega x) dx = 2 \int_{0}^{1} (1-x) \cos(\omega x) dx \]

Интегрируем по частям:

\[ a(\omega) = 2 \left[ \frac{1-x}{\omega} \sin(\omega x) \right]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} -\frac{1}{\omega} \sin(\omega x) dx \]

\[ a(\omega) = 2 \left( 0 - 0 \right) + \frac{2}{\omega} \left[ -\frac{1}{\omega} \cos(\omega x) \right]_{0}^{1} = -\frac{2}{\omega^2} (\cos(\omega) - \cos(0)) = -\frac{2}{\omega^2} (\cos(\omega) - 1) = \frac{2(1 - \cos(\omega))}{\omega^2} \]

Ответ:

3. \( f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \left( \frac{2\sin(\omega)}{\omega} \cos(\omega x) + \left(-\frac{2\cos(\omega)}{\omega} + \frac{2\sin(\omega)}{\omega^2} \right) \sin(\omega x) \right) d\omega \)

4. \( f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \left( \frac{3(\sin(3\omega) + \sin(\omega))}{2\omega} \cos(\omega x) + \frac{3(\cos(\omega) - \cos(3\omega))}{2\omega} \sin(\omega x) \right) d\omega \)

5. \( f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{2(1 - \cos(\omega))}{\omega^2} \cos(\omega x) d\omega \)