3. (3 балла) Найдите среднюю линию трапеции, если известно, что она в 2,5 раза больше меньшего основания и на 6 см меньше большего. Ответ:

Обозначим:

• Среднюю линию трапеции как \( m \)
• Меньшее основание как \( a \)
• Большее основание как \( b \)

Из условия задачи имеем:

1. \( m = 2.5a \)
2. \( m = b - 6 \)

Также мы знаем, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\( m = \frac{a + b}{2} \)

Теперь подставим выражения для \( m \) в последнее уравнение.

Из \( m = 2.5a \) следует \( a = \frac{m}{2.5} = \frac{m}{\frac{5}{2}} = \frac{2m}{5} \).

Из \( m = b - 6 \) следует \( b = m + 6 \).

Подставляем \( a \) и \( b \) в формулу средней линии:

\( m = \frac{\frac{2m}{5} + (m + 6)}{2} \)

Умножим обе стороны на 2:

\( 2m = \frac{2m}{5} + m + 6 \)

Вычтем \( m \) из обеих сторон:

\( m = \frac{2m}{5} + 6 \)

Вычтем \( \frac{2m}{5} \) из обеих сторон:

\( m - \frac{2m}{5} = 6 \)

\( \frac{5m - 2m}{5} = 6 \)

\( \frac{3m}{5} = 6 \)

Умножим обе стороны на 5:

\( 3m = 30 \)

Разделим на 3:

\( m = 10 \)

Итак, средняя линия трапеции равна 10 см.

Проверим:

\( m = 10 \) см.

\( a = \frac{2 \times 10}{5} = 4 \) см (меньшее основание).

\( b = 10 + 6 = 16 \) см (большее основание).

\( m = 2.5a \rightarrow 10 = 2.5 \times 4 \) (верно).

\( m = b - 6 \rightarrow 10 = 16 - 6 \) (верно).

\( m = \frac{a+b}{2} \rightarrow 10 = \frac{4+16}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) (верно).

Ответ: 10 см