2. (3 балла) Найдите тупой угол параллелограмма, если сумма двух его углов в пять раз меньше суммы двух других его углов. Ответ:

Обозначим углы параллелограмма как \( \alpha \) и \( \beta \).

У параллелограмма противоположные углы равны, а сумма смежных углов равна 180 градусов. То есть, у нас есть два угла \( \alpha \) и два угла \( \beta \), и \( \alpha + \beta = 180^ \).

Условие задачи говорит, что сумма двух углов в пять раз меньше суммы двух других. Возможны два случая:

1. Случай 1: Сумма двух углов \( \alpha \) в пять раз меньше суммы двух углов \( \beta \).

\( 2\alpha = \frac{1}{5} (2\beta) \) или \( \alpha = \frac{1}{5} \beta \).

Подставим это в уравнение \( \alpha + \beta = 180^ \):

\( \frac{1}{5} \beta + \beta = 180^ \)

\( \frac{6}{5} \beta = 180^ \)

\( \beta = 180^ \times \frac{5}{6} = 30^ \times 5 = 150^ \).

Тогда \( \alpha = 180^ - 150^ = 30^ \).

В этом случае углы равны 30° и 150°. Тупой угол - 150°.

2. Случай 2: Сумма одного угла \( \alpha \) и одного угла \( \beta \) в пять раз меньше суммы другого \( \alpha \) и другого \( \beta \).

Это означает, что сумма всех углов ( \( 2\alpha + 2\beta \) ) будет в 5 раз больше, чем сумма двух углов ( \( \alpha + \beta \) ). Это не соответствует условию.

Другая интерпретация: сумма двух смежных углов в пять раз меньше суммы двух других (то есть, противоположных). Но сумма смежных углов всегда 180°, а сумма противоположных углов - 360°. Это также не подходит.

Возвращаемся к условию: «сумма двух его углов в пять раз меньше суммы двух других его углов». Это значит, что либо два острых угла в 5 раз меньше двух тупых, либо наоборот. Мы рассмотрели случай, когда острые углы меньше тупых. Если бы мы предположили, что два тупых угла в 5 раз меньше двух острых, то \( 2\beta = \frac{1}{5} (2\text{a}) \), что привело бы к \( \beta = \frac{1}{5} \text{a} \). Тогда \( \text{a} + \frac{1}{5}\text{a} = 180 \text{°} \), \( \frac{6}{5}\text{a} = 180 \text{°} \), \( \text{a} = 150 \text{°} \), \( \beta = 30 \text{°} \). Результат тот же.

Ответ: 150°