3.13. а) Известно, что 5х-7=3у+b и 5у-7=3х+с. Если число b меньше, чем с, на 2, то чему равно х-у? б) Известно, что сумма двух чисел х и у равна 4+а. Если 2х-4y=5-а, то на сколько у меньше, чем х? в) Известно, что при а=1 и а=-2 значение выражения ба³ +4a²-ab+ с равно 0. Найдите b и с. г) Известно, что при а = -1 значение выражения 6а³ +4a²-ас-в равно 0. Найдите значение выражения в-с.

Решение:

а) Дано: \( 5x - 7 = 3y + b \) и \( 5y - 7 = 3x + c \). \( b = c - 2 \). Найти \( x - y \).

Вычтем из первого уравнения второе:

\( (5x - 7) - (5y - 7) = (3y + b) - (3x + c) \)

\( 5x - 7 - 5y + 7 = 3y + b - 3x - c \)

\( 5x - 5y = 3y - 3x + b - c \)

Перенесем члены с \( x \) и \( y \) влево, а \( b \) и \( c \) вправо:

\( 5x + 3x - 5y - 3y = b - c \)

\( 8x - 8y = b - c \)

\( 8(x - y) = b - c \)

По условию, \( b = c - 2 \), следовательно, \( b - c = -2 \).

\( 8(x - y) = -2 \)

\( x - y = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} \).

б) Дано: \( x + y = 4 + a \) и \( 2x - 4y = 5 - a \). Найти, на сколько \( y \) меньше, чем \( x \), то есть \( x - y \).

Сложим два уравнения:

\( (x + y) + (2x - 4y) = (4 + a) + (5 - a) \)

\( x + y + 2x - 4y = 4 + a + 5 - a \)

\( 3x - 3y = 9 \)

\( 3(x - y) = 9 \)

\( x - y = 3 \).

Значит, \( y \) на 3 меньше, чем \( x \).

в) Дано: при \( a = 1 \) и \( a = -2 \) значение \( 6a^3 + 4a^2 - ab + c = 0 \). Найти \( b \) и \( c \).

Подставим \( a = 1 \):

\( 6(1)^3 + 4(1)^2 - 1 · b + c = 0 \)

\( 6 + 4 - b + c = 0 \)

\( 10 - b + c = 0 \) \( → c - b = -10 \) (1)

Подставим \( a = -2 \):

\( 6(-2)^3 + 4(-2)^2 - (-2) · b + c = 0 \)

\( 6(-8) + 4(4) + 2b + c = 0 \)

\( -48 + 16 + 2b + c = 0 \)

\( -32 + 2b + c = 0 \) \( → c + 2b = 32 \) (2)

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

\( (c + 2b) - (c - b) = 32 - (-10) \)

\( c + 2b - c + b = 32 + 10 \)

\( 3b = 42 \)

\( b = 14 \).

Подставим \( b = 14 \) в уравнение (1):

\( c - 14 = -10 \)

\( c = 4 \).

г) Дано: при \( a = -1 \) значение \( 6a^3 + 4a^2 - ac - b = 0 \). Найти \( b - c \).

Подставим \( a = -1 \):

\( 6(-1)^3 + 4(-1)^2 - (-1) · c - b = 0 \)

\( 6(-1) + 4(1) + c - b = 0 \)

\( -6 + 4 + c - b = 0 \)

\( -2 + c - b = 0 \)

\( c - b = 2 \).

Нам нужно найти \( b - c \). Умножим обе стороны на -1:

\( -(c - b) = -2 \)

\( -c + b = -2 \)

\( b - c = -2 \).

Ответ:
а) \( x - y = -\frac{1}{4} \)
б) \( y \) на 3 меньше, чем \( x \)
в) \( b = 14, c = 4 \)
г) \( b - c = -2 \)