3.12. Решите уравнение a) 5/(x+3) + 1/(x^2-9) - x/(x-3) = 0; б) 1/(x-2) - (2x-1)/(x^2-4) = 2/(x+2); в) 9x/(x-3) + x/(x^2-9) = 3log5(25); г) При каком значении х функция f(x) = 2/(x-3) - (3x+1)/((x-3)(x+4)) + 3/(x+4) принимает значение, равное 0?

Решение:

а) \( \frac{5}{x+3} + \frac{1}{x^2-9} - \frac{x}{x-3} = 0 \)

Общий знаменатель \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \). Ограничения: \( x ≠ 3 \), \( x ≠ -3 \).

Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{5(x-3)}{(x+3)(x-3)} + \frac{1}{(x-3)(x+3)} - \frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} = 0 \)

\( 5(x-3) + 1 - x(x+3) = 0 \)

\( 5x - 15 + 1 - x^2 - 3x = 0 \)

\( -x^2 + 2x - 14 = 0 \)

\( x^2 - 2x + 14 = 0 \)

Найдем дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4 · 1 · 14 = 4 - 56 = -52 \).

Так как \( D < 0 \), действительных корней нет.

б) \( \frac{1}{x-2} - \frac{2x-1}{x^2-4} = \frac{2}{x+2} \)

Общий знаменатель \( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \). Ограничения: \( x ≠ 2 \), \( x ≠ -2 \).

Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{1(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{2x-1}{(x-2)(x+2)} = \frac{2(x-2)}{(x-2)(x+2)} \)

\( (x+2) - (2x-1) = 2(x-2) \)

\( x + 2 - 2x + 1 = 2x - 4 \)

\( -x + 3 = 2x - 4 \)

\( 3x = 7 \)

\( x = \frac{7}{3} \).

Проверка: \( \frac{7}{3} ≠ 2 \) и \( \frac{7}{3} ≠ -2 \). Корень подходит.

в) \( \frac{9x}{x-3} + \frac{x}{x^2-9} = 3\text{log}_5{25} \)

Сначала вычислим \( \text{log}_5{25} \). Так как \( 5^2 = 25 \), то \( \text{log}_5{25} = 2 \).

Уравнение примет вид: \( \frac{9x}{x-3} + \frac{x}{x^2-9} = 3 · 2 = 6 \).

Общий знаменатель \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \). Ограничения: \( x ≠ 3 \), \( x ≠ -3 \).

Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{9x(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{x}{(x-3)(x+3)} = 6 \)

\( 9x(x+3) + x = 6(x^2-9) \)

\( 9x^2 + 27x + x = 6x^2 - 54 \)

\( 9x^2 + 28x = 6x^2 - 54 \)

\( 3x^2 + 28x + 54 = 0 \)

Найдем дискриминант: \( D = 28^2 - 4 · 3 · 54 = 784 - 648 = 136 \).

\( \text{x}_{1,2} = \frac{-28 ± \text{sqrt}(136)}{2 · 3} = \frac{-28 ± 2\text{sqrt}(34)}{6} = \frac{-14 ± \text{sqrt}(34)}{3} \).

Оба корня не равны 3 или -3.

г) При каком значении х функция \( f(x) = \frac{2}{x-3} - \frac{3x+1}{(x-3)(x+4)} + \frac{3}{x+4} \) принимает значение, равное 0?

Общий знаменатель \( (x-3)(x+4) \). Ограничения: \( x ≠ 3 \), \( x ≠ -4 \).

Приравняем функцию к нулю:

\( \frac{2}{x-3} - \frac{3x+1}{(x-3)(x+4)} + \frac{3}{x+4} = 0 \)

Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{2(x+4)}{(x-3)(x+4)} - \frac{3x+1}{(x-3)(x+4)} + \frac{3(x-3)}{(x-3)(x+4)} = 0 \)

\( 2(x+4) - (3x+1) + 3(x-3) = 0 \)

\( 2x + 8 - 3x - 1 + 3x - 9 = 0 \)

\( (2x - 3x + 3x) + (8 - 1 - 9) = 0 \)

\( 2x - 2 = 0 \)

\( 2x = 2 \)

\( x = 1 \).

Проверка: \( 1 ≠ 3 \) и \( 1 ≠ -4 \). Корень подходит.

Ответ:
а) корней нет
б) \( x = \frac{7}{3} \)
в) \( x = \frac{-14 ± \text{sqrt}(34)}{3} \)
г) \( x = 1 \)