№2 С помощью теорем синусов и ко- синусов решите треугольник АВС, если: б) ∠A=30°, ∠C=75°, b=4,5;

Решение:

Чтобы решить треугольник, нам нужно найти все его стороны и углы. Нам даны два угла и одна сторона.

1. Находим угол B: Сумма углов треугольника равна 180°. Дано ∠A = 30° и ∠C = 75°. \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 30° - 75° = 75° \).


2. Замечаем: Так как \( \angle B = \angle C = 75° \), то треугольник ABC является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, равны. Значит, сторона AB (противолежащая углу C) равна стороне AC (противолежащей углу B).


3. Находим сторону c (AB): По условию, сторона b (AC) = 4.5. Поскольку треугольник равнобедренный с \( \angle B = \angle C \), то сторона c (AB) равна стороне b (AC). \( c = b = 4.5 \).


4. Находим сторону a (BC): Используем теорему синусов: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \). Подставим известные значения: \( \frac{a}{\sin 30°} = \frac{4.5}{\sin 75°} \).


5. Вычисляем \( \sin 30° \) и \( \sin 75° \): \( \sin 30° = 0.5 \). \( \sin 75° = \sin(45°+30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \approx 0.966 \).


6. Находим сторону a: \( a = \frac{4.5 \cdot \sin 30°}{\sin 75°} \approx \frac{4.5 \cdot 0.5}{0.966} \approx \frac{2.25}{0.966} \approx 2.33 \).

Ответ: \( \angle B = 75°, a \approx 2.33, c = 4.5 \).