29) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует угол в 600 с плоскостью основания. Найдите объем пирамиды, если боковое ребро равно 10 см.

Решение:

Дана правильная четырехугольная пирамида. Боковое ребро \(l = 10 \text{ см}\) образует угол \(\alpha = 60^\circ\) с плоскостью основания. Необходимо найти объем пирамиды \(V\).

1. Объем пирамиды вычисляется по формуле:
   \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \), где \(S_{осн}\) — площадь основания, \(H\) — высота пирамиды.
2. Найдем радиус описанной окружности основания \(R\). В прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром \(l\), радиусом описанной окружности \(R\) и высотой пирамиды \(H\), угол между боковым ребром и основанием равен \(\alpha = 60^\circ\).
   \( \cos(\alpha) = \frac{R}{l} \)
   \( R = l \cdot \cos(60^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ см} \)
3. Найдем сторону основания \(a\). В правильной четырехугольной пирамиде радиус описанной окружности связан со стороной основания как \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).
   \( a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \text{ см} \)
4. Площадь основания:
   \( S_{осн} = a^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50 \text{ см}^2 \)
5. Найдем высоту пирамиды \(H\) из того же прямоугольного треугольника:
   \( \sin(\alpha) = \frac{H}{l} \)
   \( H = l \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ см} \)
6. Теперь вычислим объем пирамиды:
   \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} | 50 \cdot 5\sqrt{3} = \frac{250\sqrt{3}}{3} \text{ см}^3 \)

Ответ: \(\frac{250\sqrt{3}}{3}\) см³.