28) Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует угол в 600 с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро равно 10 см.

Решение:

Дана правильная четырехугольная пирамида. Боковое ребро \(l = 10 \text{ см}\) образует угол \(\alpha = 60^\circ\) с плоскостью основания. Необходимо найти площадь полной поверхности пирамиды.

1. Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания \(S_{осн}\) и площади боковой поверхности \(S_{бок}\):
   \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \)
2. Найдем апофему \(h_a\) (высоту боковой грани). В прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром, апофемой и проекцией апофемы на основание (радиусом вписанной окружности \(r\)), угол между боковым ребром и основанием — это угол между боковым ребром и его проекцией на основание. В данной задаче нам дан угол между боковым ребром и плоскостью основания, который равен \(\alpha = 60^\circ\).
3. В прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром \(l\), высотой пирамиды \(H\) и радиусом описанной окружности основания \(R\), угол между боковым ребром и основанием — это угол между гипотенузой \(l\) и катетом \(R\). То есть \(\alpha = 60^\circ\).
4. В правильной четырехугольной пирамиде радиус описанной окружности основания \(R\) равен половине диагонали основания. Диагональ основания \(d_{осн} = a\sqrt{2}\), где \(a\) — сторона основания. Значит, \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).
5. Из прямоугольного треугольника:
   \( \cos(\alpha) = \frac{R}{l} \)
   \( R = l \cdot \cos(60^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ см} \)
6. Теперь найдем сторону основания \(a\):
   \( R = \frac{a\sqrt{2}}{2} \Rightarrow a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2} \)
   \( a = 5\sqrt{2} \text{ см} \)
7. Площадь основания:
   \( S_{осн} = a^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50 \text{ см}^2 \)
8. Найдем апофему \(h_a\). Для этого сначала найдем высоту пирамиды \(H\):
   \( \sin(\alpha) = \frac{H}{l} \)
   \( H = l \cdot \sin(60^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ см} \)
9. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \(H\), радиусом вписанной окружности основания \(r\) и апофемой \(h_a\). В правильной четырехугольной пирамиде \(r = \frac{a}{2}\).
   \( r = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ см} \)
10. По теореме Пифагора для этого треугольника:
    \( h_a^2 = H^2 + r^2 \)
    \( h_a^2 = (5\sqrt{3})^2 + (\frac{5\sqrt{2}}{2})^2 = 75 + \frac{25 \cdot 2}{4} = 75 + \frac{50}{4} = 75 + 12.5 = 87.5 \)
    \( h_a = \sqrt{87.5} = \sqrt{\frac{175}{2}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 7}{2}} = 5\sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{5\sqrt{14}}{2} \text{ см} \)
11. Площадь боковой поверхности:
    \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_a \), где \(P_{осн}\) — периметр основания.
    \( P_{осн} = 4a = 4 | 5\sqrt{2} = 20\sqrt{2} \text{ см} \)
    \( S_{бок} = \frac{1}{2} (20\sqrt{2}) \cdot \frac{5\sqrt{14}}{2} = 10\sqrt{2} \cdot \frac{5\sqrt{14}}{2} = 5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{14} = 25\sqrt{28} = 25\sqrt{4 \cdot 7} = 25 \cdot 2\sqrt{7} = 50\sqrt{7} \text{ см}^2 \)
12. Полная площадь поверхности:
    \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 50 + 50\sqrt{7} = 50(1 + \sqrt{7}) \text{ см}^2 \)

Ответ: \(50(1 + \sqrt{7})\) см².