28. Диаметр окружности делит хорду пополам. Докажите, что диаметр либо перпендикулярен хорде, либо сама хорда является диаметром.

Дано: Окружность с центром О. Хорда AB. Диаметр PQ. Диаметр PQ делит хорду AB пополам в точке M.

Доказать: PQ $$\perp$$ AB или AB - диаметр.

Доказательство:

• Пусть M - середина хорды AB. Диаметр PQ проходит через M.
• Рассмотрим треугольник OAB. OA = OB (радиусы), следовательно, треугольник OAB равнобедренный.
• OM является медианой, проведенной к основанию AB (так как M - середина AB).
• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой.
• Следовательно, OM $$\perp$$ AB.
• Если диаметр PQ проходит через M, и OM $$\perp$$ AB, то диаметр PQ также перпендикулярен AB (так как M лежит на PQ, и OM лежит на PQ, если O лежит на PQ).
• Если O лежит на PQ (что верно, так как PQ - диаметр), и OM $$\perp$$ AB, то прямая PQ, содержащая OM, перпендикулярна AB.
• Итак, первое условие выполнено: диаметр PQ перпендикулярен хорде AB.
• Рассмотрим второй случай: что если хорда AB является диаметром?
• Если AB - диаметр, то он проходит через центр O.
• Диаметр PQ также проходит через центр O.
• Если AB - диаметр, то его середина M совпадает с центром O.
• В этом случае, любое диаметральное пересечение с AB будет делить AB пополам (в центре O).
• Следовательно, если хорда AB является диаметром, то условие, что диаметр делит ее пополам, выполняется.
• Таким образом, диаметр PQ либо перпендикулярен хорде AB, либо хорда AB сама является диаметром.

Доказано