22. Внутри круга взяли произвольную точку А. Где на его окружности нужно взять точку В, чтобы длина отрезка АВ была наибольшей?

Дано: Круг, точка А внутри круга.

Найти: Точку В на окружности, чтобы длина отрезка АВ была наибольшей.

Решение:

• Пусть центр окружности - О, а радиус - R.
• Расстояние от точки А до любой точки на окружности будет наибольшим, когда эта точка находится на самой дальней от А точке окружности.
• Проведем прямую через центр окружности О и точку А.
• Эта прямая пересечет окружность в двух точках.
• Одна из этих точек будет ближайшей к А, а другая - самой дальней от А.
• Точка В, при которой отрезок АВ будет наибольшим, будет находиться на окружности, на противоположной стороне от А, относительно центра окружности.
• Другими словами, точка В должна лежать на окружности на конце диаметра, проходящего через А.
• Чтобы найти эту точку, нужно провести прямую через А и центр окружности О, и точка В будет там, где эта прямая пересекает окружность, и при этом А будет находиться между О и В, или О будет между А и В.
• Если А находится внутри круга, то В будет на окружности, так что А будет между О и В.
• Таким образом, АВ = АО + OB = АО + R. Это максимальное расстояние.

Ответ: Точка В должна лежать на окружности на конце диаметра, проходящего через точку А, причем точка А должна находиться между центром окружности и точкой В.