28.5. Решите уравнение: 1) cos(x + π/6) = √2/2; 2) cos(x/6 - 2) = -1; 3) 2cos(π/8 - 3x) + 1 = 0.

Решение:

В этом разделе уравнения имеют более сложные аргументы и коэффициенты.

1) cos(x + π/6) = √2/2

Сначала решаем для аргумента (x + π/6). Основной угол — π/4.

• x + π/6 = ±π/4 + 2πn
• x = -π/6 ± π/4 + 2πn

Рассмотрим два случая:

• x = -π/6 + π/4 + 2πn = -2π/12 + 3π/12 + 2πn = π/12 + 2πn
• x = -π/6 - π/4 + 2πn = -2π/12 - 3π/12 + 2πn = -5π/12 + 2πn

где n — целое число.

2) cos(x/6 - 2) = -1

Уравнение cos y = -1 решается как y = π + 2πn.

• x/6 - 2 = π + 2πn
• x/6 = π + 2 + 2πn
• x = 6π + 12 + 12πn, где n — целое число.

3) 2cos(π/8 - 3x) + 1 = 0

Сначала выделим косинус:

• 2cos(π/8 - 3x) = -1
• cos(π/8 - 3x) = -1/2

Теперь решаем для аргумента (π/8 - 3x). Основной угол — π/3. Косинус отрицателен во II и III четвертях.

• π/8 - 3x = ±2π/3 + 2πn

Рассмотрим два случая:

• π/8 - 3x = 2π/3 + 2πn
• -3x = 2π/3 - π/8 + 2πn
• -3x = 16π/24 - 3π/24 + 2πn
• -3x = 13π/24 + 2πn
• x = -13π/72 - 2πn/3

• π/8 - 3x = -2π/3 + 2πn
• -3x = -2π/3 - π/8 + 2πn
• -3x = -16π/24 - 3π/24 + 2πn
• -3x = -19π/24 + 2πn
• x = 19π/72 - 2πn/3

где n — целое число.

Ответ:

• 1) x = π/12 + 2πn; x = -5π/12 + 2πn
• 2) x = 6π + 12 + 12πn
• 3) x = -13π/72 - 2πn/3; x = 19π/72 - 2πn/3