28.1. Решите уравнение: 1) cos x = 1/2; 2) cos x = √2/2; 3) cos x = -√3/2; 4) cos x = 1/3; 5) cos x = π/3; 6) cos x = π/4.

Решение:

В данном задании нужно решить уравнения вида cos x = a. Решения таких уравнений зависят от значения a.

1) cos x = 1/2

Основной угол, для которого косинус равен 1/2, это π/3. Так как косинус — четная функция, то cos(-x) = cos x. Уравнение имеет два семейства решений:

• x = π/3 + 2πn
• x = -π/3 + 2πn

где n — любое целое число.

2) cos x = √2/2

Основной угол, для которого косинус равен √2/2, это π/4. Аналогично первому пункту:

• x = π/4 + 2πn
• x = -π/4 + 2πn

где n — любое целое число.

3) cos x = -√3/2

Основной угол, для которого косинус равен √3/2, это π/6. Так как косинус отрицателен во II и III четвертях, то:

• x = 5π/6 + 2πn (угол во II четверти)
• x = 7π/6 + 2πn (угол в III четверти)

где n — любое целое число.

4) cos x = 1/3

Значение 1/3 не является стандартным значением косинуса. Решение выражается через арккосинус:

• x = arccos(1/3) + 2πn
• x = -arccos(1/3) + 2πn

где n — любое целое число.

5) cos x = π/3

Значение π/3 приблизительно равно 3.14159 / 3 ≈ 1.047. Поскольку область значений функции косинуса — это интервал [-1, 1], а π/3 > 1, то данное уравнение решений не имеет.

6) cos x = π/4

Значение π/4 приблизительно равно 3.14159 / 4 ≈ 0.785. Это значение находится в пределах области значений косинуса.

• x = arccos(π/4) + 2πn
• x = -arccos(π/4) + 2πn

где n — любое целое число.

Ответ:

• 1) x = ±π/3 + 2πn
• 2) x = ±π/4 + 2πn
• 3) x = ±5π/6 + 2πn
• 4) x = ±arccos(1/3) + 2πn
• 5) Решений нет
• 6) x = ±arccos(π/4) + 2πn