28.3. Решите уравнение: 1) cos3x = 1/2; 2) cos(5/6)x = √3/2; 3) cos 6x = 1; 4) cos(2πx/3) = 0; 5) cos 9x = -1/5; 6) cos(x/3 - π/3) = √3/3.

Решение:

Здесь мы решаем уравнения вида cos(kx) = a или cos(ax + b) = c. Сначала решаем для аргумента (например, kx или ax + b), а затем находим x.

1) cos3x = 1/2

Сначала найдем решения для 3x. Основной угол — π/3.

• 3x = ±π/3 + 2πn
• x = ±π/9 + 2πn/3, где n — целое число.

2) cos(5/6)x = √3/2

Основной угол — π/6.

• (5/6)x = ±π/6 + 2πn
• x = ±(π/6) * (6/5) + 2πn * (6/5)
• x = ±π/5 + 12πn/5, где n — целое число.

3) cos 6x = 1

Уравнение cos y = 1 решается как y = 2πn.

• 6x = 2πn
• x = πn/3, где n — целое число.

4) cos(2πx/3) = 0

Уравнение cos y = 0 решается как y = π/2 + πn.

• 2πx/3 = π/2 + πn
• 2x/3 = 1/2 + n
• x = (1/2 + n) * 3/2
• x = 3/4 + 3n/2, где n — целое число.

5) cos 9x = -1/5

Решение выражается через арккосинус.

• 9x = ±arccos(-1/5) + 2πn
• x = ±arccos(-1/5)/9 + 2πn/9, где n — целое число.

6) cos(x/3 - π/3) = √3/3

Значение √3/3 не является стандартным. Решаем через арккосинус.

• x/3 - π/3 = ±arccos(√3/3) + 2πn
• x/3 = π/3 ± arccos(√3/3) + 2πn
• x = π ± 3arccos(√3/3) + 6πn, где n — целое число.

Ответ:

• 1) x = ±π/9 + 2πn/3
• 2) x = ±π/5 + 12πn/5
• 3) x = πn/3
• 4) x = 3/4 + 3n/2
• 5) x = ±arccos(-1/5)/9 + 2πn/9
• 6) x = π ± 3arccos(√3/3) + 6πn