264 Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны (180° - 120°) / 2 = 30°.

2. Пусть основание равно a, а боковая сторона равна b. Высота к боковой стороне равна h_b = 9 см.

3. Площадь треугольника можно вычислить как (1/2) * b * h_b = (1/2) * b * 9.

4. Также площадь можно вычислить как (1/2) * a * h_a, где h_a - высота к основанию.

5. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой h_a, половиной основания (a/2) и боковой стороной b, sin(30°) = (a/2) / b, что дает a/2 = b * sin(30°) = b/2, следовательно, a = b. Это противоречит условию, что угол при вершине 120°.

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой h_b = 9, боковой стороной b и частью другой боковой стороны. Угол между боковой стороной и основанием равен 30°.

7. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой 9, боковой стороной b и проекцией этой высоты на боковую сторону, sin(30°) = 9 / b.

8. Отсюда b = 9 / sin(30°) = 9 / (1/2) = 18 см.

9. Основание a = 2 * b * cos(30°) = 2 * 18 * (√3 / 2) = 18√3 см.