26. Решение дифференциального уравнения xy`-3y=0 является функция

Решение:

Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Его можно записать как:

\( xy' - 3y = 0 \)

Разделим переменные (если \( y
e 0 \) и \( x
e 0 \)):

\( x \frac{dy}{dx} = 3y \)

\( \frac{dy}{y} = \frac{3dx}{x} \)

Проинтегрируем обе части:

\( \int \frac{dy}{y} = \int \frac{3dx}{x} \)

\( \ln|y| = 3 \ln|x| + C \)

\( \ln|y| = \ln|x^3| + C \)

\( |y| = e^{\ln|x^3| + C} = e^C \cdot e^{\ln|x^3|} = A|x^3| \)

где \( A = e^C \) — положительная константа. Обобщенное решение, включая \( y=0 \) и \( x=0 \) (в зависимости от начальных условий), имеет вид \( y = Ax^3 \).

Проверим предложенные варианты:

• \( y = 3 \) → \( x(0) - 3(3) = -9
  e 0 \)
• \( y = -3x^3 \) → \( x(-9x^2) - 3(-3x^3) = -9x^3 + 9x^3 = 0 \). Это решение.
• \( y = -3x \) → \( x(-3) - 3(-3x) = -3x + 9x = 6x
  e 0 \)
• \( y = 3x \) → \( x(3) - 3(3x) = 3x - 9x = -6x
  e 0 \)

Ответ: 2) y=-3x³