257. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, AC + AB = 18 см. Найдите АС и АВ.

Решение задачи 257

Пусть \( \angle BAC \) — внутренний угол при вершине \( A \) в треугольнике \( ABC \). Внешний угол при вершине \( A \) равен \( 180^{\circ} - \angle BAC \).

По условию, внешний угол при вершине \( A \) равен \( 120^{\circ} \).

\[ 180^{\circ} - \angle BAC = 120^{\circ} \]

\[ \angle BAC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \]

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом \( C \) и \( \angle BAC = 60^{\circ} \), угол \( \angle ABC = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Отношения сторон в таком треугольнике:

• Катет, противолежащий углу \( 30^{\circ} \) (т.е. \( AC \)), равен половине гипотенузы (т.е. \( AB \)): \( AC = \frac{1}{2} AB \).
• Катет, прилежащий к углу \( 60^{\circ} \) (т.е. \( AC \)), равен \( AB \) умноженному на \( \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} \) или \( BC \) умноженному на \( \mathrm{ctg}(60^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \).

Из условия \( AC = \frac{1}{2} AB \) следует, что \( AB = 2 AC \).

Также по условию: \( AC + AB = 18 \) см.

Подставим \( AB = 2 AC \) в это уравнение:

\[ AC + 2 AC = 18 \]

\[ 3 AC = 18 \]

\[ AC = 6 \] см.

Теперь найдём \( AB \):

\[ AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 6 = 12 \] см.

Ответ: АС = 6 см, АВ = 12 см.